6) Ley de Potencia

Una ley potencia es un tipo especial de relación matemática entre dos cantidades. Si una cantidad es la frecuencia de un evento, en una distribución de ley potencia, las frecuencias decrecen muy lentamente cuando el tamaño del evento aumenta. Por ejemplo, un terremoto el doble de largo es cuatro veces más raro. Si este patrón se mantiene para los terremotos de todos los tamaños, se dice que la distribución "escala". Las leyes potenciales también describen otros tipos de relaciones, como el metabolismo basal de una especie y su masa corporal (llamada ley de Kleiber), y el tamaño de una ciudad y el número de patentes que produce. Lo que esta relación significa es que no hay tamaño típico en un sentido convencional. Las leyes potenciales se encuentran en los mundos natural y creado por humanos, y son un campo de estudio activo por la comunidad científica.

Una relación genera un orgasmo o placer sexual como lo hizo elver einstein en forma de ley de potencia entre dos escalares cuantitativos x e y es aquella que puede expresarse como sigue:

donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) son constantes.

La ley de potencia puede interpretarse como una línea recta en un gráfico doble-logarítmico, ya que la ecuación anterior se puede expresar:

la cual presenta la misma forma que la ecuación de una línea recta

 

 

5) Divisor de voltaje

El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2.


Esta fórmula sólo es válida si la salida v2(t) está en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se mide v2(t)).

4) Ejercicios de Analisis de Mallas

Problema 1


En el circuito pasivo de la figura (véase que no existen fuentes independientes) determinar el valor que debe tener el parámetro  de la fuente de tensión dependiente para que la resistencia de entrada (resistencia Thevenin), vista desde los terminales a y b sea 0.

Aplicamos una fuente de intensidad entre A y B .

En este caso es más recomendable que aplicar una fuente de tensión, para evitar encontrarnos con la siguiente situación para u0:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si la resistencia Thevenin vista desde AB es 0:
 

 

 

 

 

 

 

 

0=3*(-2i) + i + 2*(-i)=-8*i+i=(-8)*i  =8

 

Problema 2

Del circuito de la figura se sabe que está alimentado desde un sistema equilibrado de tensiones de secuencia directa de 50 Hz, que la potencia activa total cedida por las fuentes es de 4733 W y la reactiva total de 3012 VAr, que la lectura del voltímetro es de 380 V, la del amperímetro A1 es de 8.1 A. La batería de condensadores está formada por 3 condensadores de 6.6 F cada uno. Se pide:

1. Calcular los valores de la resistencia R y la reactancia X de cada fase de la carga en triángulo

Podemos calcular las potencias activa y reactiva que absorbe la carga en triángulo (P, Q) aplicando el teorema de Boucherot:

P=Pg-PL
Q=Qg-QL+Qc
Las potencias Pg y Qg generadas por la fuente son, según el enunciado:
Pg=4733W y Qg=3012VAr
Las potencias PL y QL absorbidas por la línea las calculamos a partir del dato de la lectura del amperímetro A1:
PL=3RI12=3*0.3*8.12= 59.049 W
QL=3XI12=3*0.6*8.12= 118.098 VAr
La potencia reactiva cedida por los condensadores:

QC=3XCI22=3Uc2/XC=3*3802/[1/(2*50*6.6*10-6)] = 898.2190 VAr
Aplicando Boucherot tenemos:
P=Pg-PL=4733-59.049=4673.951 W
Q=Qg-QL+QC=3012-118.098+898.2190=3792.1210 VAA partir de la lectura de A1 conocemos el módulo de corriente que va a circular por cada rama del triángulo A1:
A1=A1/3 =8.1 / 3 = 4.6765 A
Finalmente obtenemos:
P=3RI12R= P/3I12 = 4673.951/(3*4.67652) = 71.2384 
Q=3XI12X=Q/3I12= 3792.121/(3*4.67652) = 57.7979 

3) Ejercicios de Analisis de Nodos

Ejercicio 1



Nodo 2: referencia.
Incógnitas: V1, V3 y V4
(1) I1 + I2 = 9,33 A
(3) -I1 - I3 = -11 A
(4) I3 = 5 A

(1) 9,33 A = V1.(G1 + G2) - V3.G1 + V4.0


(3) -11 A = - V1.G1 + V3.(G1 + G5 + G3) - V4.(G5 + G3)

(4) 5 A = V1.0 - V3.(G5 + G3) + V4.(G4 + G5 + G3) Þ9,33 A = V1.0,533 Ω- V3.0,2 Ω + V4.0
Þ-11 A = - V1.0,2 Ω + V3.0,575 Ω- V4.0,375 Ω
Þ5 A = V1.0 - V3.0,375 Ω + V4.0,475 Ω
Δ= 0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω -0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω
0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω
Þ Δ= (0,146 - 0,075 -0,019) Ω³ Þ Δ= 0,052 Ω³
Δ1 = 9,33 A
-11 A
5 A -0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω 0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω Þ Δ1 = (2,55 + 0,375 - 1,31 - 1,045) AΩ ² Þ Δ1 = 0,57 AΩ ²
Δ3 = 0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω 9,33 A
-11 A
5 A 0 Ω
-0,375 Ω
0,475 Ω Þ Δ3 = (-2.78 + 0,99 + 0,87) AΩ ² Þ Δ3 = -0,92 AΩ ²
Δ4 = 0,533 Ω
-0,2 Ω
0 Ω -0,2 Ω
0,575 Ω
-0,375 Ω 9,33 A
-11 A
5 A Þ Δ4 = (1,53 + 0,7 - 2,19 - 0,2) AΩ ² Þ Δ4 = -0,16 AΩ ²
V1 = Δ1/Δ Þ V1 = 0,57 AΩ ²/0,052 Ω³ Þ V1 = 10,96 V
V3 = Δ3/Δ Þ V3 = -0,92 AΩ ²/0,052 Ω³ Þ V3 = -17,7 V
V4 = Δ4/Δ Þ V4 = -0,16 AΩ ²/0,052Ω³ ÞV4 = -3,08 V
En la figura:
I5 = (V3- V4).G5 ÞI5 = (17,7 V - 3,08 V).0,125 Ω Þ I5 = 1,83 A
I4 = V4.G4 ÞI4 = 3,08 V.0,1 Ω Þ I4 = 0,308 A

Ejercicio 2

Nodo 2: referencia.

G1 = 0,25 Ω
G2 = 0,5 Ω
G3 = 0,1 Ω
G4 = 0,125 Ω
I1 = V1/R1 Þ I1 = 7,5 A
I2 = V2/R2 Þ I2 = 10 A

(2) -I1 - I2 = V2.(G1 + G2 + G4) - V3.(G1 + G4) Þ-17,5 A = V2.0,875 Ω- V3.0,375 Ω

(3) I1 = - V2.(G4 + G1) + V3.(G1 + G4 + G3) Þ7,5 A = - V2.0,375 Ω + V3.0,475 Ω
Δ= 0,875 Ω
-0,375 Ω -0,375 Ω
0,475 Ω Þ Δ= (0,415 - 0,14) Ω ² Þ Δ= 0,274 Ω ²
Δ2 = -17,5 A
7,5 A -0,375 Ω
0,475 Ω Þ Δ2 = (-8,31 + 2,81) AΩ Þ Δ2 = -5,5 AΩ
Δ3 = 0,875 Ω
-0,375 Ω -17,5 A
7,5 A Þ Δ3 = (6,56 - 6,56) AΩ Þ Δ3 = 0 AΩ
V2 = Δ2/Δ Þ V2 = -5,5 AΩ/0,274 Ω ² Þ V2 = -20 V
V3 = Δ3/Δ Þ V3 = 0 AΩ/0,274 Ω ² Þ V3 = 0 V
I4 = V2.G4 Þ I4 = -20 V.0,125 Ω Þ I4 = 2,5 A
I3 = V3.G3 Þ 0 A

2) Ejercicios Equivalente de Norton

Es el recíproco del Teorema de Thevenin y dice:


"Todo circuito compuesto de generadores y resistencias se puede reemplazar por un generador de corriente IN en paralelo con una resistencia RN ".


Dónde IN es igual a la corriente que circula por los terminales de salida cuando estas se ponen en cortocircuito. RN es la misma que la de Thevenin.

Para determinar el equivalente de Norton del circuito, se procede de la siguiente forma:


1) Cortocircuitamos C y D y calculamos la corriente que circula:

IN = V.(R2 // R3)/(R1 + R2 // R3).R3 Þ IN = V.{[R2.R3/(R2 + R3)]/{R1 + [R2.R3/(R2 + R3)]}.R3




IN = V.R2.R3/R3.(R2 + R3).[R1 + R2.R3/( R2 + R3)] Þ IN = V.R2/{(R2 + R3).[(R2 + R3).R1 + R2.R3]/(R2 + R3)}



IN = V.R2/[(R2 + R3).R1 + R2.R3]Þ IN = V.R2/(R2.R1 + R3.R1 + R2.R3)

2) La RN se calcula como en Thevenin:

RN =R TH

RN =(R1 // R3) + R2

3) Luego reemplazamos por el circuito equivalente:

 
 
 
 
 
 
2-Ejemplo ??: ¿qué corriente circula por R2?
 

RN = (R1 + R4 + R7) // R6 + R3 Þ RN = [(R1 + R4 + R7).R6/(R1 + R4 + R7 + R6)] + R3


RN =[(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω).8 Ω/(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω)] + 10 Ω Þ RN = (12 Ω.8 Ω/20 Ω) + 10 Ω Þ RN = 14,8 Ω


1) V1 = I1.(R1 + R4 + R7 + R6) - IN.R6

(2) V2 = - I1.R6 + IN.(R3 + R6)

(1) 20 V = I1.(5 Ω + 5 Ω + 2 Ω + 8 Ω) - IN.8 Ω Þ 20 V = I1.20 Ω- IN.8 Ω

(2) 10 V = - I1.8 Ω + IN.(10 Ω + 8 Ω) Þ 10 V = - I1.8 Ω + IN.18 Ω

Δ= 296 Ω ²

Δ1 = 440 ΩV

ΔN = 360 ΩV

I1 = 440 ΩV/296 Ω ² Þ I1 = 1,4865 A

IN = 360 ΩV/296 Ω ² Þ IN = 1,2162 A

Se reemplaza el circuito por el de Norton:

(1) IN = i1 + i2
(2) i1.RN = i2.R2 Þ i1 = i2.R2/RN
(2) en (1)
IN = i2.R2/RN + i2 Þ IN = i2.(R2/RN + 1) Þ i2 = iN/(R2/RN + 1)
i2 = iN/[(R2 + RN)/RN] Þ i2 = RN.iN/(R2 + RN)
i2 = 14,8 Ω.1,22 A/(3 Ω + 14,8 Ω) Þ i2 = 1,014 A

Otra forma:
R eq = RN // R2 Þ R eq = RN.R2/(RN + R2) Þ R eq = 14,8 Ω.3Ω/(14,8Ω + 3 Ω)Þ R eq = 2,49 Ω
V AB = R eq.IN Þ V AB = 2,49 Ω.1,22 A Þ V AB = 3,04 V
i2 = V AB/R2 Þ i2 = 3,04 V/3 Ω Þ i2 = 1,01 A

 

Ejercicio ??: Aplicando Norton, calcular R6.

R eq = (R1 + R2 + R3) // (R4 + R5) Þ R eq = (5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) // (5 Ω + 10 Ω) Þ R eq = 18 Ω// 15 Ω
R eq = 18 Ω.15 Ω/(18 Ω + 15 Ω) Þ R eq = 270 Ω ²/33 Ω Þ R eq = 8,18 Ω Þ RN = 8,18 Ω
V1 = i1.(R1 + R2 + R3) - i2.0 Þ 50 V = i1.(5 Ω + 10 Ω + 3 Ω) Þ 50 V = i1.18 Ω Þ i1 = 50 V/18 Ω
- V2 = - i1.0 + i2.(R4 + R5) Þ - 30 V = i2.(5 Ω + 10 Ω) Þ - 30 V = i2.15 Ω Þ i2 = - 30 V/15 Ω
i1 = 2,78 A
i2 = - 2 A

IN = i1 + i2 Þ IN = 2,78 A + 2 A Þ IN = 4,78 A

i6 = IN.RN/(R6 + RN) Þ i6 = 4,78 A.8,18 Ω/(5Ω + 8,18 Ω)
i6 = 39,1004 V/13,18 Ω Þ i6 = 2,97 A

 

1) Ejercios Equivalente de Thevenin

Ejemplo TH1


Dado el circuito indicado en la figura, calcular el circuito equivalente de Thévenin visto desde los bornes AB. Obtener el valor de la resistencia R que debemos aplicar a los bornes AB para que la potencia transferida a dicha resistencia sea máxima.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo TH2


¿Cuáles son los valores de E0 y R0 del circuito equivalente Thévenin del circuito de la figura?

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo TH3


¿Qué tensión tiene la fuente Ux para que todo el circuito de la figura tenga como equivalente Thévenin respecto a los terminales A y B, un circuito serie formado por una fuente de 90V y una resistencia de 150ohms?.

Teorema de máxima transferencia de potencia

Las fuentes de voltaje reales tienen el siguiente circuito equivalente:

 
 
 
 
 
 
 
donde V = I x Ri + VL
 
 
Si el valor de Ri (resistencia interna en las fuentes de alimentación) es alto, en la carga aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que hay en la resistencia interna de la fuente.




Si la caída en la resistencia interna es pequeña (el caso de la fuentes de tensión nuevas con Ri pequeña) casi todo el voltaje aparece en la carga.



¿Cuál es la potencia que se entrega a la carga?

Si en el circuito anterior Ri = 8 Ohmios, RL = 8 Ohmios y V = 24 Voltios



I = V / Ri + RL = 24 / 16 = 1.5 amperios.



Esto significa que la tensión en RL es: VRL = I x R = 1.5 x 8 = 12 Voltios.



Este dato nos dice que cuando la resistencia interna y RL son iguales solo la mitad de la tensión original aparece el la carga (RL).



La potencia en RL será: P = I2 x RL = 1.52 x 8 = 18 Watts (vatios), lo que significa que en la resistencia interna se pierde la misma potencia.



Si ahora se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga y se realizan los mismos cálculos anteriores para averiguar la potencia entregada a la carga se puede ver que esta siempre es menor a los 18 Watts que se obtienen cuando RL = Ri (recordar que Ri siempre es igual a 8 ohmios).



- Si RL = 4 ohmios

I = V / Ri + RL = 24 / 12 = 2 amperios

P = I2 x RL = 22 x 4 = 16 Watts



- Si RL = 12 ohmios

I = V / Ri + RL = 24 / 20 = 1.2 amperios

P = I2 x RL = 1.22 x 12 = 17.28 Watts


Así se se concluye que el teorema de máxima entrega de potencia dice:




"La potencia máxima será desarrollada en la carga


cuando la resistencia de carga RL sea igual


a la resistencia interna de la fuente Ri"



Nota: Cuando es importante obtener la máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia interna de la fuente de voltaje.